ما هي طرق حل المعادلات بالمصفوفات

تُعدّ المصفوفات أداة رياضية قوية لحل أنظمة المعادلات الخطية، وذلك لسهولة تمثيلها للمعادلات وكفاءة العمليات الحسابية عليها.

وأهم طرق حل المعادلات بالمصفوفات هي:

1. طريقة الإقصاء:

• تعتمد هذه الطريقة على إقصاء أحد المتغيرات من إحدى المعادلات عن طريق جمع أو طرح معاملاتها مع معاملات متغير آخر في معادلة أخرى.

خطوات طريقة الإقصاء:

1. كتابة نظام المعادلات على شكل مصفوفة معززة.
2. إعادة ترتيب الصفوف في المصفوفة بحيث تصبح معاملات أحد المتغيرات في العمود الأول غير صفرة في جميع الصفوف باستثناء الصف الأول.
3. ضړب أحد الصفوف في ثابت ثم جمعه أو طرحه من صف آخر لإلغاء معاملات أحد المتغيرات في أحد الصفوف.
4. تكرار الخطوات 2 و 3 حتى يتم إقصاء جميع المتغيرات واحدًا تلو الآخر.
5. حل نظام المعادلات الناتج عن طريق البدء بالمتغير الذي تم إخراجه في آخر خطوة.

مثال:

حل نظام المعادلات:

2x + 3y = 7x - y = 1

بالخطوات:

1. كتابة نظام المعادلات على شكل مصفوفة معززة:

drive_spreadsheetالتصدير إلى "جداول بيانات Google"

1. إعادة ترتيب الصفوف بحيث تصبح معاملات x غير صفرة في جميع الصفوف باستثناء الصف الأول:

drive_spreadsheetالتصدير إلى "جداول بيانات Google"

1. ضړب الصف الأول في -2 ثم جمعه من الصف الثاني:

drive_spreadsheetالتصدير إلى "جداول بيانات Google"

1. حل المعادلة الناتجة (0x + 5y = 5) لإيجاد قيمة y:

5y = 5y = 1

1. تعويض قيمة y في إحدى المعادلات الأصلية لإيجاد قيمة x:

2x + 3(1) = 72x + 3 = 72x = 4x = 2

وبالتالي، فإن حل نظام المعادلات هو x = 2 و y = 1.

2. طريقة قاعدة كرامر:

• تعتمد هذه الطريقة على حساب قيمة كل متغير من خلال قسمة محددين على محدد المصفوفة الأصلية.

خطوات طريقة قاعدة كرامر:

1. كتابة نظام المعادلات على شكل مصفوفة معززة.
2. حساب محدد المصفوفة الأصلية (det(A)).
3. حساب محدد مصفوفة جديدة لكل متغير، حيث يتم استبدال عمود معاملات ذلك المتغير في المصفوفة المعززة بعمود من أرقام 1 و 0.
4. قيمة كل متغير تساوي حاصل قسمة محدد المصفوفة الجديدة الخاصة به على محدد المصفوفة الأصلية (det(A)).